Manuale di Calcolo delle Variazioni per Principianti

Il libro si propone di fornire ad ogni studente un kit di sopravvivenza per iniziare ad esplorare in sicurezza il mondo del Calcolo delle Variazioni. In estrema sintesi, quest'ultimo è un ramo dell'Analisi Matematica che si occupa di problemi di minimizzazione e massimizzazione. Si è compiuto un notevole sforzo per presentare gli argomenti ed i metodi trattati nel libro nel modo più semplice possibile: il lettore non troverà qui enunciati generali o dimostrazioni basate su teorie astratte di carattere generale. Al contrario, l'obiettivo principale del testo è introdurre alcuni concetti fondamentali a partire dalle basi, attraverso esempi semplici e significativi (tra cui, ad esempio, il classico problema isoperimetrico e quello della brachistocrona, nonché il problema al contorno per le funzioni armoniche). In particolare, il libro è pensato principalmente (ma non esclusivamente) per introdurre gradualmente il lettore al cosiddetto Metodo Diretto del Calcolo delle Variazioni, che rappresenta uno dei concetti centrali della disciplina. Di conseguenza, una parte consistente del volume è dedicata alla discussione degli spazi di funzioni debolmente differenziabili (ossia le funzioni di Sobolev e le funzioni lipschitziane), che costituiscono uno strumento essenziale del Metodo Diretto. Un'ampia raccolta di esercizi guiderà lo studente nello studio della materia. Quasi tutti gli esercizi sono corredati di una soluzione dettagliata. Pur essendo stato concepito principalmente per gli studenti, il libro può risultare utile anche ai ricercatori del settore, almeno per alcune parti riguardanti ad esempio: le proprietà degli spazi di Sobolev; le disuguaglianze funzionali di tipo Sobolev–Poincaré; alcune tecniche per trattare equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche non lineari ed un'introduzione ai metodi della moderna teoria della regolarità per le EDP ellittiche. Il volume è completato da quattro appendici, che contribuiscono a renderlo autosufficiente, nonché ad approfondire lo studio di alcuni argomenti specifici.